Feladat
A kvíz, mint mindannyian tudjuk, nagy kozmikus rajongó. Van otthon egy remek távcső, amely mögött szabadidejének jelentős részét tölti. Egy távoli galaxisig fogja látni, ahol utoljára egy kíváncsi bináris csillagot látott. Két egyformán masszív csillagból állt. Kvik úgy döntött, hogy megtudja, milyen sebességgel távolodik el a bináris közös súlypontja a Földtől. Ebből a célból megmért egy spektrális vonal frekvenciáját egy bináris csillag spektrumából. Amikor a csillagok és a Föld is egy vonalban voltak, megmérte a frekvenciát \ (f_0 \). Amikor a csillagok vonala merőleges volt a Föld irányára, Kvik megfigyelt egy pár spektrális vonalat, amelyek frekvenciája \ (f _ + \) és \ (f _- \). Most már csak hozzá kell adnia. Segíts neki a számításokban.
Az első dolog, amit észre kell vennünk, miért Kvík figyeli ugyanazon spektrális vonal különböző frekvenciáit a csillagok különböző pozícióiban. Egy pillanatnyi gondolkodás után arra a következtetésre jutunk, hogy az egyetlen ésszerű magyarázat a Doppler-effektus a csillagok mozgásával kapcsolatban. A közös tömegközéppont körül \ (v \) sebességgel keringenek, amely ráadásul \ (u \) sebességgel távolodik el a Földtől. Így amikor mind a csillag, mind a Föld ugyanazon a vonalon van, mindkét csillag \ (u \) sebességgel távolodik el a Földtől. Amikor a csillagvonal merőleges a Föld irányára, akkor az egyik csillag a Föld felé halad \ (u + v \) sebességgel, a másik pedig \ (u-v \) sebességgel. Ez az oka annak, hogy Kvík megfigyel egy pár spektrális vonalat.
Ha megtaláljuk ugyanannak a spektrumvonalnak a frekvenciakülönbségei okát, úgy tűnhet, hogy már nyertünk. Csak annyit kell tennie, hogy bedobja az egyenletekbe, és felrobbantja tőlük a sebességet (u \). Vagy nem? Emlékezzünk arra, hogy a Doppler-effektus frekvenciaváltozását a \ [f '= f \, \ frac >> \ text \ qquad (1) \] egyenlet írja le.
ahol \ (c \) a hullámok sebessége, \ (w_ \) a megfigyelő (vevő) és \ (w_ \) a forrás sebessége. A jeleket a megfigyelő és a forrás mozgásának iránya szerint választjuk ki. Mind a négy kombináció megengedett.
Esetünkben \ (c \) a fénysebesség. De mi a sebességünk \ (w_ \) és \ (w_ \)? Első látásra egyértelmű, hogy az eredmény a referenciakeret megválasztásától függ. A kérdés az, hogy miként választjuk meg a referenciarendszert. Válaszul vegyünk egy szemléletesebb példát - két autó halad egymással szemben. Ezután választhatunk referenciarendszereket, amelyek összekapcsolódnak az egyes autókkal, a nagymamával a megállóban vagy Jožekkel a buszig, de bármely más referenciarendszerrel.
Egyeseknél felmerülhet, hogy a referenciarendszert az általunk érdekelt frekvenciának megfelelõen választjuk meg, vagyis ha érdekel bennünket, hogy a nagymama milyen frekvenciát hall, akkor leírjuk a nagymamarendszer helyzetét. De akkor mit csinál a sebesség \ (w_r \) az 1 kapcsán, amikor annak mindig nullának kell lennie? Ez a sebesség nem csak ott lesz, ezért lehet, hogy ez a választás nem megfelelő.
Valójában egy referenciarendszert választunk ahhoz a környezethez, amelyben a hullámok terjednek. Hang esetén a környezet levegő. És mi van a fénnyel? A relativitáselmélet szerint a fény egyenletesen terjed minden referenciarendszerben, így a fény esetében az eredmény nem függhet a referenciakeret megválasztásától. Ez azonban ellentétes az 1. egyenlettel, így nem írja le a fény Doppler-effektusát.
Az 1. egyenlet Galileo-transzformációkból származik, amelyek nem relatív jellegűek. Ha relativisztikus Lorentz-transzformációkat használunk, akkor egy másik relációt kapunk \ [f '= f \ sqrt> \ text \ qquad (2) \]
Itt nem következtetünk rá, mivel az olvasó könnyen megtalálhatja a rendelkezésre álló irodalomban vagy az interneten. Csak vegyük figyelembe, hogy a számlálónak és a nevezőnek azonos sebessége van \ (w \), ami a forrás és a megfigyelő kölcsönös sebessége, tehát az eredmény nem függ a referenciarendszer megválasztásától. Ebben az esetben csak két jelkombináció megengedett - mindig különböző jeleket választunk, és választásuk attól függ, hogy az objektumok egymástól mozognak vagy közelednek egymáshoz.
A feladat legérdekesebb része mögöttünk áll. Most elkezdhetjük a számolást. Legyen a spektrális egyenes tényleges frekvenciája \ (f \). A megfigyelt frekvenciákra akkor \ [\ begin f _ + ^> & = f ^> \ frac \ text \\ f _- ^> & = f ^> \ frac \ text \\ f_0 ^> & = f ^> \ frac \ text \ end \ qquad (3) \]
Zárja ki az egyenletrendszerből a spektrális egyenes valós frekvenciáját \ (f \) úgy, hogy az első két egyenletet elosztja 3-ban a harmadikkal. Néhány egyszerű beállítás után befejezzük az űrlapot [[\ begin f _ + ^> \ left (u ^ 2 + uv-cv-c ^ 2 \ right) & = f_0 ^> \ left (u ^ + uv + cv -c ^ \ right) \ text \\ f _- ^> \ left (u ^ 2-uv + cv-c ^ 2 \ right) & = f_0 ^> \ left (u ^ -uv-cv-c ^ \ jobbra) \ text \ end \ qquad (4) \]
Látjuk, hogy mindkét egyenlet \ (v \) -ban lineáris és \ (u \) másodfokú. Érdekel egy bináris \ (u \) sebessége, ezért mindkét egyenletből kifejezzük a csillagok keringési sebességét \ (v \): \ [v = \ frac ^> - f _ ^> \ right)> ^> \ bal (uc \ jobb) -f _ ^> \ bal (u + c \ jobb)> \ text \\ \ qquad (5) \]
Nagyon örülünk, hogy ugyanaz a tényező \ (\ bal (u ^ -c ^ \ jobb) \) fordul elő mindkét egyenletben, mert amikor felosztjuk az egyenleteket, ez a tényező kiesik belőlük, hatékonyan csökkentve az egyenlet mértékét a köbtől a lineárisig. A fokozatos kiigazítások a végeredményhez vezetnek [[u = \ frac ^> f _ ^> - f _ ^ >> ^> - f _ ^> \ jobbra] \ balra (f _ ^> - f _ ^> \ jobbra) > c \ text \ qquad (7) \]
Azt gondolhatnánk, hogy a csillagok és a Föld kölcsönös sebessége nagyon kicsi a fénysebességhez képest, ezért lehetővé kell tenni a 2. kapcsolat linearizálását. Alkalmazzuk rá a Taylor kiterjesztést \ [f '= f \ sqrt> = f \ sqrt >>> = f \ left (1- \ frac + \ frac \ left (\ frac \ right) ^ + \ bar> \ left (\ bal (\ frac \ jobb) ^ \ jobb) \ jobb) \ text \]
Vizsgáljuk meg először a fejlődést csak az első sorrendben. Ebben az esetben kapunk egy egyenletkészletet [[\ kezdődik f_ & = f \ bal (1- \ frac \ jobb) \ text \\ f_ & = f \ bal (1- \ frac \ jobb) \ text \\ f_ & = f \ bal (1- \ frac\ right] \ text \ end \]
Rögtön látjuk, hogy ez a rendszer egyenértékű a klasszikus Doppler használatával a hullámforrás referenciaforrásában. Amikor azonban elkezdjük megoldani, problémába ütközünk, mert minden sebesség kiesik belőle, és csak a [[f _ = \ frac + f _> \ text \] frekvenciák feltételét kapjuk.
amely kimondja, hogy az elsőrendű közelítésben az \ (f_ \) frekvenciának a maradék két számtani átlagának kell lennie.
Valamilyen eredmény elérése érdekében figyelembe kell vennünk Taylor kiterjesztését a második sorrendig: \ [\ begin f_ & = f \ left (1- \ frac + \ frac >> \ right) \ text \\ f_ & = f \ bal (1- \ frac + \ frac >> \ jobb) \ text \\ f_ & = f \ left (1- \ frac+\ frac >> \ right) \ text \ end \]
Ismét kizárjuk az \ (f \) frekvenciát az egyenletekből azáltal, hogy felosztjuk egymás között az egyenleteket: \ [\ begin \ frac >> & = \ frac-2uc-2vc + u ^ + v ^ + 2uv> -2uc + u ^> \ text \\ \ frac >> & = \ frac-2uc + 2vc + u ^ + v ^ -2uv> -2uc + u ^> \ text \ end \]
Ezúttal egy kicsit bonyolultabb rendszert kaptunk, mivel mindkét egyenlet másodfokú \ (u \) és \ (v \). Semmi sem ijeszt meg minket ilyen könnyen. Szakmai szemmel nézzük őket, és azonnal látjuk, hogy amikor összeadjuk és kivonjuk őket egymásból, akkor kissé leegyszerűsödnek: \ [\ begin \ frac + f _ >> & = \ frac-4uc + 2u ^ + 2v ^ > - 2uc + u ^> \ text \\ \ frac-f _ >> & = \ frac-2uc + u ^> \ text \ end \]
Ezekből az egyenletekből már nem jelent problémát az orbitális sebesség (v) kifejezése viszonylag egyszerű formában: \ [\ begin \ left | v \ right | & = \ sqrt + f _ >> - 1 \ jobb) \ bal (2c ^ -2uc + u ^ \ jobb)> \ text \\ v & = \ frac-f_ \ right) \ bal (2c ^ -2uc + u ^ \ right)> \ left (uc \ right)> \ text \ end \]
Az abszolút érték és a négyzetgyök megszabadulása érdekében egyenlítsük ki a pálya sebességének négyzetét. Olyan egyenletért dolgozunk, amely kvadratikus az \ (u \) -ban, és nem tartalmazza a sebességet (v \), így a megoldás megtalálásával már a legkisebb problémánk sincs: \ [\ begin u ^ -2cu + \ frac \ bal (f_ + f_-2f_ \ jobb) -2 \ bal (f_-f_ \ jobb) ^> \ bal (f_ + f_-2f_ \ jobb) - \ bal (f_-f_ \ jobb) ^> c ^ = 0 \ text \\ u = c \ left (1 \ pm \ sqrt \ left (f_ + f_-2f_ \ right) -2 \ left (f_-f_ \ right) ^> \ left (f_ + f_-2f_ \ right) - \ bal (f_-f_ \ jobb) ^ >> \ jobb) \ text \ end \]
A fizikai megoldás mínusz előjellel rendelkezik, mivel \ (\ left | u \ right | \ overset< . Pozorný čitateľ by mohol namietať, že náš výsledok nemôže byť správny, pretože narábame s relativistickým Dopplerovým javom a pritom sme použili klasický vzťah na skladanie rýchlostí. A má v podstate pravdu. V skutočnosti by sme mali uvažovať relativisticky získané rýchlosti vzďaľovania jednotlivých hviezd \[ w_=\frac>> \ text \] Mivel azonban az \ (u \) és \ (v \) sebességek kicsiek a fénysebességhez képest, úgy tűnik, hogy megengedhetjük magunknak a klasszikusan összetett sebességek használatát is. Nézzük azonban azt az eredményt, amelyet akkor értünk volna el, ha ennek ellenére relativisztikus kapcsolatot használtunk volna a sebességek összeállításához, mert ez valóban érdekes. Pontosan ugyanazt az eljárást fogjuk követni, mint az első esetben. Az egyenletrendszerből indulunk ki [[\ begin f _ ^> & = f ^> \ frac >>>>>> \ text \\ f _ ^> & = f ^> \ frac >>>>>> \ szöveg \\ f_ ^> & = f ^> \ frac \ text \ end \]
Ha ezeket a kifejezéseket egyenletbe vesszük, akkor elérünk egy egyenletet, amely nem tartalmaz semmilyen sebességet \ [\ frac ^> - f _ ^ >> ^> + f _ ^ >> + \ frac ^> - f _ ^ >> ^> + f _ ^ >> = 0 \ text \], amely tovább egyszerűsíthető \ [f _ = \ sqrtf _> \ text \] -re, így az \ (f_ \) frekvenciának a maradék kettő geometriai átlagának kell lennie . Mit jelent? Ha nem hanyagoljuk el, akkor elvileg nem lehet meghatározni a bináris távolságának sebességét. Mélyebb elmélkedés után azonban nem nagyon csodálkozunk. Van egy bizonyos frekvenciájú hullámunk, és érdekel minket, hogy ez a frekvencia hogyan változik a Doppler-hatás miatt. A frekvencia változását egyértelműen a \ (u \) és \ (v \) arányok adják meg. Így ha két esetben ismerjük a látszólagos frekvenciákat, akkor a harmadik esetben kiszámíthatjuk a frekvenciát az utolsó levezetett reláció segítségével. Ez azt jelenti, hogy a három egyenletünk, amelyből kiindultunk, nem voltak függetlenek, ezért nem lehet három ismeretlent kiszámítani belőle, mivel gyakorlatilag csak két egyenletünk van. Ez azt jelenti, hogy Doppler nem tud mit mondani a bináris távolságának sebességéről? Nem, ha nem ismerjük a megfigyelt spektrális vonal tényleges frekvenciáját. De mivel a spektrális vonalak frekvenciái ismertek, a gyakorlatban csak az adott spektrális vonalat kell azonosítanunk, és a két látszólagos frekvenciát használjuk a bináris csillag távolságának kiszámításához.
A kutató megjegyzése
A becsület és dicsőség Jónásé, aki egyedüli becsületes relativisztikus számításokkal mutatta meg, hogy nem lehet meghatározni a bináris csillag távolságának sebességét a megfigyelt frekvenciáktól. Okos trükköt alkalmazott, amikor úgy vélte, hogy a bináris súlypontjával együtt mozgó segédobjektum volt, de ezután kettős Doppler-eltolást adott hozzá. Az első váltás figyelembe vette a csillagok keringési sebességét, a második pedig a bináris súlypontjának a Földtől való mozgásának sebességét. Ez a számítás a megfigyelt frekvenciák \ [f _ = \ fracf _> + f _> \ text \] közötti kapcsolathoz vezetett
ami különbözik attól, amit kaptunk. A probléma az, hogy a megfigyelt \ (f_0 \) frekvencia esetén feltételeztük, hogy a csillag távolsága \ (u \), ami nem igaz. Valójában relativisztikusan össze kell állítanunk a merőleges sebességeket \ (u \) és \ (v \), és az így kapott sebességet kell használnunk a relativisztikus Dopplerhez képest.
Vita
Itt szabadon megvitathatja a megoldást, megoszthatja kódjait és így tovább.
Megjegyzések hozzáadásához be kell jelentkeznie.