Készítette: Petra Podmanická
F, G vannak gócok
A, B a fő csúcsok
C, D oldalcsúcsok
| AS | = | BS | = a = főtengely
| CS | = | DS | = b = következő féltengely
| FS | = | GS | = e = az ellipszis excentricitása
egyenes AB a fő tengely
egyenes CD egy kisebb tengely
vonalak FM a GM pont útmutatók M [x, y]
a sík összes pontjának halmaza, amely állandó távolságösszeggel rendelkezik két adott rögzített ponttól, ahol
- a gócokat két fő pontnak tekintjük (a képen F, G pontok)
-a távolságok állandó összegeként a fő csúcsok és így a fő tengely kölcsönös távolságát tekintjük (a képről ez a távolság | AB | = 2 * a)
és így megírhatjuk, hogy az ELIPSA a sík összes pontjának halmaza, amelyre a reláció vonatkozik:
| FM | + | GM | = | AB | = 2 * a
ellipszis tartalom közvetlenül arányos a fő és a másodlagos féltengely szorzatával, azaz:
Útmutató az az vonal, amely az ellipszis bármely pontját összeköti a fókussal
Különcség ellipszis (e) az ellipszis középpontjának gyújtótávolságát jelenti. Az excentricitás felhasználásával kifejezzük az ún a numerikus excentricitás, amely kifejezi az ellipszis ellapulásának mértékét, kifejezi a körtől való eltérés mértékét
- Az excentricitás, a fő és a másodlagos féltengely között a kapcsolatot a Pitagorasz-tétel (FSC háromszög) alapján származtatták:
a 2 = b 2 + e 2
Az ellipszis analitikai kifejezésének egyenletének levezetése:
- az ellipszis fő definíciójából indulunk ki:
- az | FM | számára kapcsolat érvényes:
- a | GM | kapcsolat érvényes:
- ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe és módosítjuk:
- Vagy a pr S koordinátákra központosított ellipszis esetén [m, n] a következő egyenlet:
- És a pr abban az esetben, ha ez egy fordított ellipszis, amelynek fő tengelye azonos, ill. az y tengellyel párhuzamosan a kapcsolat érvényes
Ellipszis érintő
a T [x T, y T] ellipszis érintőjére a következő két összefüggés vonatkozik:
Megoldott példa:
Az ellipszist a 16x 2 + 25y 2 = 400 egyenlet fejezi ki. Ur leolvassa a fő- és a melléktengelyt, az excentricitást és a gócok koordinátáit. Az ellipszis elhelyezése?
Ki kell fejeznünk az ellipszis egyenletét, azaz. felosztjuk az egész egyenletet a 400 kifejezéssel:
- Ebből az egyenletből az következik, hogy:
1. Fő tengely = 2a = 2 * √a 2 = 2 * √25 = 10
2. Kisebb tengely = 2b = 2 * √b 2 = 2 * √16 = 8
Az excentricitást az összefüggés alapján számoljuk ki: e 2 = a 2 - b 2:
e = √ (5 2 - 4 2) = (25-16) 1/2 = 3
A hangsúly a koordinátákkal rendelkezik:
Az ellipszis fő tengelye megegyezik az x tengellyel, mivel az (x 2) alatti szám nagyobb, mint az (y 2) képletben szereplő szám
Az ellipszist a 9x 2 + 25y 2 - 54x - 100y - 44 = 0. egyenlet fejezi ki. Határozza meg az ellipszis közepének fő- és melléktengelyét, excentricitását és koordinátáit
Kicsit módosítanunk kell ezt az egyenletet. Összeadunk x tagokat és y tagokat, és megpróbáljuk kiegészíteni őket, hogy egy egyszerű (x-m) 2 típusú képletet kapjunk, ill. (y-n) 2
(9x2 -54x) + (25y2 -100y) = 44
- külön kell választanunk a második erejéig emelt kifejezéseket, ezért a zárójelek előtt eltávolítjuk:
9 * (x 2-6x) +25 (y2-4y) = 44
- most hozzá kell adni (kivonni) a bal oldalt, és hozzáadni (kivonni) egy számot a jobb oldalról, hogy megkapjuk a fent említett képletet. Mert érvényes
- így hozzáadva a képletet, a jobb oldalon hozzá kell adnunk a 9 * 9 és a 25 * 4 számokat.
- És így kapjuk:
9 * (x 2 -6x + 9) +25 (y 2 -4y + 4) = 44 + 9 * 9 + 4 * 25
9 * (x-3) 2 + 25 * (y-2) 2 = 225 ………/osztani 225-vel
A megadott egyenletből az következik, hogy:
Fő tengely = 2a = 10
Kisebb tengely = 2b = 6
Excentricitás = (5 2 - 3 2) 1/2 = 4
Az ellipszis középpontjának pedig S koordinátái vannak [3,2]
Nerie példák:
1. Egy ellipszist egyenlet ad meg 9x 2 + y 2 + 9x - 4y. Ur mindent elolvas, mint a megoldott példában.
a = 5/2; b = 4/6; S [-0,5; 2]; ellipszis m fő tengelye párhuzamos az y tengellyel
2. Az ellipszist az egyenlet adja 16x 2 + 4y 2 = 64. Urt mindent elolvas, ami hozzá tartozik
a = 4; b = 2; e = 12 1/2 ; F [0; -12 1/2 ]; G [0; 12. 1/2 ], ellipszis m fő tengelye megegyezik az y tengellyel
Referenciák:
1. A matematika II. Áttekintése - V. Burjan, Ľ. Hős, M. Maxian
2. Saját jegyzetek
3. Képletek összegyűjtése matematikából a szerzők csapatától RNDr. Marian Olejar, Mgr. Iveta Olejarova, Martin Olejar, Marian Olejar, Jr.