titkait

Amikor a matematika feltárja a természet titkait: a Fibonacci-szekvenciát és az aranyarányt

Sokak számára a matematikus nagyon érdekes és kihívást jelentő akadály volt a felnőttkor tesztjének. A matematikának azonban pótolhatatlan szerepe van a mindennapokban. És ennek nincs vége, ha egy almát pite-ben számolunk. Ez eszközöket biztosít számunkra az űr felfedezéséhez. A matematika tehát egyfajta szobalány - vagy éppen ellenkezőleg, a természettudományok királynője -.

A matematika nemcsak hasznos, de rendkívül érdekes is lehet. Az egyik (véleményem szerint) legérdekesebb mini-terület az Fibonacci szekvencia és arany szakasz száma (Fibonacci-szekvencia és aranyarány). Nyilvánvalóan nem csak engem érdekel, mert a Google szerint milliónyi link található olyan webhelyekhez, amelyek foglalkoznak velük.

Megalapozta ennek a matematikai jelenségnek a megértését Leonardo Bonucci (A Fibonacci a filius Bonacci rövidítése, Bonacci fia, vagy Leonardo Pisano, Leonardo da Pisa rövidítése) a "Liber Abacci" könyvben. A nyulak szaporodásának példáján magyarázta. Kíváncsi volt, hány nyúl lenne a terepen egy év után, ha az elején egy párot elengedne, a következő feltételek teljesülése esetén: egyetlen nyúl sem pusztul el, a nyulak egy hónap múlva érik el ivarérettségüket, és egy pár nyúl minden születéskor született.

Az első hónapok így fognak kinézni (a bal oldali oszlopban lévő számok a hónapokat, a jobb oldalon a nyúlpárok számát mutatják):

A nyulak szaporodásából egy olyan szekvenciát vezetett le, amelyet ma Fibonacci numerikus szekvenciának neveznek. Ez valójában egy számsorozat, ahol a következő szám az előző kettő összege, és így néz ki:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597.

Első ránézésre ez egy közönséges számsor, egyszerű kiegészítés. Nos, érdekes dolgokra következtethetünk.
Megkezdjük meghatározni két szomszédos szám arányát, az eljövetel és az előző arányát:

Bizonyára észrevette, hogy a kapott arányok a szám körül ingadoznak 1.61803. Ez egy végtelen tizedes fejlettségű szám, amelyet először Euclidus használt, mert nagyon fontos volt a szabályos ötszögek és ötszögek geometriájában. Jelenleg a ϕ, arany szakasz száma, vagy a kreacionisták esetében isteni arány (aranyarány/isteni arány). Ezt a számot geometrikusan a hosszúság arányaként határozzuk meg:

"Csodálatos" matematikai műveletek segítségével algebrai jelölést kapunk:

ϕ = (1 + √5)/2 = 1,6180339887.

Hagyjuk most a matematikát, és nézzük meg a Fibonacci-számokat a természetben. Az evolúció során minden élő szervezet arra törekszik, hogy optimalizálja növekedését és hatékonyan használja fel az erőforrásokat. A Fibonacci szekvencia és az arany szakasz száma az egyik lehetőségnek bizonyult.
Nézzük meg a növényeket és a levelek eloszlását a száron.

Sok növény spirálon ültet leveleket a szárra, így minden további levél bizonyos szöggel elmozdítva nő az előzőhöz képest. Ha ezután kiszámoljuk, hogy a sorrendben hány lap lesz pontosan az első fölött, és az eredményt a levelek által létrehozott spirál fordulatszámának arányában tegyük fel, akkor az ún. phyllotax szám, pl. 1/3, 2/5, 3/8 - a Fibonacci-szekvencia összes száma. Matematikai modellezés kimutatta, hogy a növény leveleinek ilyen telepítésével optimalizálja a napfény mennyiségét és az egyes levelekbe jutó víz mennyiségét.

Hasonlóan használják a virág szirmait (szirmait) is. A növények döntő többségében a szirmok száma megegyezik az egyik Fibonacci számmal. Például egy ilyen százszorszépnek 13, 21, 34 vagy 55 szirma lehet.

A Fibonacci-számok megtalálhatók más optimalizálandó növényi részekben is. Ha tűlevelű kúpokat, ananászokat vagy magokat néznénk meg a napraforgóban, azt találnánk, hogy ezek spirálokban helyezkednek el. Ebben az esetben arról van szó, hogy optimalizáljuk a magok mennyiségét egy bizonyos területen, felesleges kihasználatlan hely vagy átfedések nélkül. A napraforgó kúpjai és magjai kétféle spirált alkotnak - az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes irányban. Az ananász hozzáad még egyet.

Milyen számokat kapunk, ha megszámoljuk a spirálok számát? Ismét ezek Fibonacci-számok lesznek. Napraforgómag - 34 az irányba és 55 az irányba, 8/13 kúpok és ananász 5/8/13. És amint biztosan helyesen kalkulál, a spirálok aránya az arany arány számát jelenti. Hasonló spirálok találhatók más virágokban vagy zöldségekben (pl. Karalábé) vagy a természetben található Fibonacci-szekvencia egyik legszebb példájában, amely a romanesco - a karfiol és a brokkoli, a karfiol kereszteződése (lent). A Romanesco a Fibonacci-szekvencia fraktálszerkezetét mutatja be - de ezúttal nem fogok fraktálokat használni.

Végül, de nem utolsósorban a Fibonacci-számok megjelennek a növényi szárak, fák, de a hörgők és a légcső optimális elágazása során is. És a kezdetektől visszatérünk a Fibonacci nyulakhoz. A nyúl törzskönyvének formája megegyezik a növényi szárakkal vagy a hörgőkkel és a hörgőkkel:

A Fibonacci-számokat és az aranyarányt az emberi testen is leírták - ezek különböző arányok az arcon, a csontok aránya a kézen, a lábon és másutt. Ezeket a példákat azonban kritikus szemmel kell vizsgálnunk, és meg kell különböztetnünk az úgynevezett "illesztett" példákat a valódiaktól. A Fibonacci utódlás egyik példája, amelyet én személy szerint valósnak találok, az emberi kéz ujjai ízületeinek aránya. Nemcsak az egyes cikkek hossza arányos az aranyarány számával. Ezenkívül, amikor meghajlítjuk az ujjainkat és összeszorítjuk az öklüket, a tér optimálisan kitöltődik.

Térjünk vissza egy pillanatra a számokhoz és a geometriához. Egy másik érdekes matematikai művelet, amely a Fibonacci-szekvenciára alkalmazható, a hatványozás és az azt követő összeadás.

Eredeti Fibonacci-szekvencia: 1 1 2 3 5 8 13 21 34.
És számok négyzetei: 1 1 4 9 25 64 169 441.

Számítsuk ki most az első 8 sorszám négyzetét:
1 2 +1 2 +2 2 +3 2 +5 2 +8 2 +13 2 +21 2 = 714

És mi történik, ha megszorozom a 21-es számot a 34-es számmal?
21x34 = 714

Ha most a Fibonacci-számokat négyzeteiket ábrázoló négyzetekkel helyettesítem, és fokozatosan összehajtom őket, akkor az (L) ábrához jutok, ahol az e négyzetek által alkotott téglalap tartalma akár tartalmuk összege, akár oldalainak többszöröse lehet (21x (21 + 13)) = 714. Ez a téglalap példa az ún. arany téglalap (arany téglalap). Ne feledje, hogy a téglalap oldalait fel lehet osztani olyan négyzetek alapján, amelyek oldalhossza megegyezik a Fibonacci-számokkal, és a kapott arányok közel lesznek a ϕ -hez. Ha ezután leírunk egy kört, amelynek középpontja van az egyik sarokban és az adott Fibonacci-szám sugara az egyes Fibonacci négyzeteknél, kapunk egy spirált, és igen, jól sejtette, arany spirál (arany spirál):) - egy logaritmikus spirál speciális esete.

Mivel ez az arany spirál a Fibonacci számokból származik, érthető, hogy különféle érdekes tulajdonságokkal bír. Jacques Bernoulli matematikus (Danielle Bernoulli nagybátyja, akinek köszönhetően repülnek a repülőgépek) szintén észrevette, és Spira Mirabilisnek nevezte. Bár a spirál növekszik, alakja ugyanaz marad. Sugara exponenciálisan növekszik, és turn-szeresére nő minden negyedfordulatnál, azaz. 90 °, ami a fenti ábrából is látszik.

A spirál minden negyedfordulatát egy négyzet alkotja, amelynek oldala megegyezik a Fibonacci-számmal (21). Ez körülbelül ϕ-szer nagyobb, mint a (13) szám, amely megegyezik az előző négyzet oldalával (13 x ϕ = 21). E spirál alakja a természetben is elterjedt. Ezek a fent említett napraforgómag-spirálok, karbonátos kúpok vagy egy ökölbe szorított kéz, amely hasonlít egy arany spirálra (tekintettel arra, hogy az ujjak ízületeinek hossza arányos a Fibonacci-szekvenciával ).

Az egyik állítólag legelegánsabb és szemléletesebb példa erre a spirálra a tengeri puhatestű - csónak (Nautilus) héja. Igaz, a pontosabb mérések 1,24-143 arányt mutatnak, átlagosan 1,33, ami nem egyezik ϕ (1,618).

Ennek az arany spirálnak az alakja más hatalmas, óriási formációk alapja, mint például a hurrikánok vagy akár egyfajta galaxis.

A Fibonacci-szekvencia példa arra, hogy a matematika egyfajta univerzális nyelv lehet, amely által a természet feltárja azokat a törvényeket és elveket, amelyeken működik. Másrészt ez megmutatja nekünk Az evolúció során a biológiai rendszerek a természetes szelekció hatására általában a lehető legalacsonyabb költségek és a legmagasabb hozamok felé fejlődtek.

Végül, de nem utolsósorban, még akkor is, ha a Fibonacci-szekvenciát és az aranymetszés számát alkalmazzuk a biológiai és egyéb rendszerekre, fontos fenntartani a kritikus nézetet (szerk. Megjegyzés: például az az állítás, hogy az aranyarányt gyakran használják a művészetben és az építészetben, vagy hogy tárgyakat, fényképeket, festményeket stb. az ember számára az esztétikusabb mítosz). Természetes emberi tulajdonság, ha mintákat és összefüggéseket keresünk, és így történik, hogy olyan kapcsolatokat azonosítunk, ahol nincsenek ilyenek, mint pl az időbeli szukcesszió és az oltás és az autizmus okozati összefüggésének összetévesztésében.

A szerző és a szerkesztők kiegészítése: Amint azt a csónakdoboz példáján láthattuk, az aranyarány számos népszerű példája nem annak pontos megnyilvánulása. Nem őket egy matematikai elv tökéletes megnyilvánulásaként kell értenünk, hanem egy bizonyos képlethez való közeledésként a növekedés optimalizálására irányuló evolúciós erőfeszítések eredményeként. Ennek oka, hogy az élő organizmusokban a fejlődési folyamatok megakadályozzák a pontos geometriai optimum elérését, amelyet rengeteg tényező befolyásol (ezért még a jobb és a bal kezed sem azonos születésüktől fogva).

Ez élettelen természetben is érvényes. Ezt egy olyan gömb példáján láthatjuk, amely a legkisebb energiájú alakot képviseli. Ennek ellenére a tökéletes gömb alakú tárgyak ritkák. Ugyanez van az aranyvágással - a galaxisok és a hurrikánok nem tökéletes megnyilvánulásai.

Arra a kérdésre, hogy mit kell az aranyarány példájának tekinteni, és mi nem, a tudósok véleménye eltérhet attól függően, hogy melyik tudományos osztályt képviselik. Míg egy ilyen egzakt tudomány, például a matematika képviselői, úgy tűnik, sok példát elutasítanak, a biológusok (például a szerző), tisztában vannak a fejlődési és fejlődési folyamatok természetével, könnyen elfogadják őket.