Felkészítő: Ing. Renáta Dvončová
Először határozzuk meg, mi az a kör.
Az egyenes mellett vonalzót és iránytűt használó geometriai konstrukciókban egy körnek van a legnagyobb jelentősége, amely a következőképpen határozható meg:
Kör a sík összes pontjának halmaza, amely ettől a ponttól rendelkezik VAL VEL tejtoroviny (a kör közepe) azonos távolságra (1. ábra). Olyan vonalat hívunk, amelynek egyik pontja az S kör középpontja, a másik másik tetszőleges pontja a kör sugara - jelezzük kisbetűvel r.
Minden olyan vonalat, amelynek végpontjai egy kör két különböző pontja, a kör akkordjának nevezzük. Húr, amely a kör közepén halad át, a kör átmérőjének nevezzük és jelölje kisbetűvel d és tartja: 2r = d.
A következő képlet vonatkozik az r sugarú kör hosszára:
Ahol r a kör sugara
- Ludolph száma, amelynek értéke megközelítőleg 3114 59
A sík összes pontjának halmaza a távolságuk szerint ban ben a plotter adott körének közepétől r vonatkozik:
r-ben a külső kört hívjuk
Köregyenlet:
A kör analitikai kifejezéséhez a következő mondatokat vezethetjük le:
V.1. Egy olyan körnek, amelynek középpontja a koordinátarendszer kezdőpontjában van (S = O) és r sugarú, meg van az egyenlete a kör központi egyenletével:
V.2. Az S (m, n) középpontú és r sugarú kör egyenlete a következő:
(x - m) 2 + (y - m) 2 = r2
A köregyenletnek ezt a formáját is hívjuk a kör egyenletének központi alakja.
a) Minden kör egyenlete kifejezhető általános formában:
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
b) A fordított tétel nem érvényes, mert ennek a formának minden egyenletének nem feltétlenül egy kör egyenletének kell lennie. Csak akkor lehet, ha az egyenlet átalakítható a 2. mondatban megadott formára.
Feltétel: A 2 + B 2> 4C
Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja van a koordinátarendszer kezdőpontjánál és áthalad az M ponton
Mivel M ≠ 0, a keresett kör létezik, és egyenletének formája x 2 + y 2 = r 2 .
Az M pont rajta fekszik, tehát x = 2, y = - 3 koordinátái kielégítik az egyenletet, így a következők érvényesek:
A keresett köregyenlet formája:
Megoldás:
Mivel A S, a keresett kör valóban létezik.
Helyezze be a központi formába a központ koordinátáit: m = - 4; n = 5, akkor ezt az egyenletet kapjuk:
(x + 4) 2 + (y - 5) 2 = r 2 A + jel azért van
Meg kell határoznunk a sugarát = r. Az A pont ezen a körön fekszik, ezért koordinátái x = 6;
y = 1 teljesíti az egyenletet, azaz. vonatkozik:
(6 + 4) 2 + (1 - 5) 2 = r2
állítsa be: 10 2 + (- 4) 2 = r 2
116 = r 2 r =
A kör egyenlete kielégíti problémánk feltételeit, ezért középső formában a következőképpen tudjuk bemutatni:
(x + 4) 2 + (y - 5) 2 = 116
ezt az egyenletet általános formává alakíthatjuk a képletek segítségével:
(a + b) 2 = a 2 + 2.a.b + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2.a.b + b 2
x 2 + y 2 + 8x - 10y - 75 = 0
Bizonyítsuk be az x egyenletet 2 + y 2 + 6x - 8y + 21 = 0 az egyenlet
kör, határozza meg annak sugarát és középpontját:
Ha van k (S, r) kör, akkor megvan az egyenlete:
(x - m) 2 + (y - m) 2 = r2
ehhez az egyenlethez úgy jutunk el, hogy az adott egyenletet általános formára módosítjuk az alábbiak szerint:
x 2 + 6x + y 2 - 8y = - 21
az ismeretlen x és y tagokat hozzáadjuk a négyzethez, miközben ugyanazok
hozzáadjuk az értékeket az egyenlet másik oldalához is:
x 2 + 6x + 9 + y 2 - 8y + 16 = - 21+ 9 +16
igazodjon a képlethez:
(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 4
A kör kapott középegyenletéből most meghatározzuk a kör középpontját a
m = -3; n = 4; S (-3,4); r = = 2
Írja fel a pontokon áthaladó kör egyenletét:
Ha van keresési kör, akkor annak egyenlete:
x 2 + y 2 + Mx + Ny + L = 0
Feltételezzük, hogy az A pont egy körön fekszik, ezért az x, y koordinátákat behelyettesítjük az egyenletbe.
Ugyanez vonatkozik a B és C pontokra. A következő egyenleteket kapjuk:
Helyettesítjük az A pont koordinátáit:
7 2 + 3 2 + M.7 + N.3 + L = 0
49 + 9 + 7M + 3N + L = 0
58 + 7M + 3N + L = 0
Helyettesítjük a B pont koordinátáit:
(- 2) 2 + 6 2 - 2M + 6N + L = 0
40 - 2M + 6N + L = 0
Helyettesítjük a C pont koordinátáit:
5 2 + (- 1) 2 + 5. M - 1. N + L = 0
26 + 5M - N + L = 0
A kapott egyenleteket egymás alá írjuk, és három egyenletből három ismeretlen rendszert kapunk:
58 + 7M + 3N + L = 0
40 - 2M + 6N + L = 0
26 + 5M - N + L = 0
Ennek az egyenletrendszernek a megoldása a következõket adja: M = - 4; N = -6; L = - 12
A megadott három pont meghatároz egy kört ezen egyenlet körül:
x 2 + y 2 - 4x - 6y - 12 = 0
a központi alakhoz történő igazítás után:
(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 25
1./Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja van az S pontban (-2,4) és áthalad az A ponton (1,5)
2./Határozza meg az egyenlet által megadott kör középpontját és sugarát: x 2 + y 2 - 10x + 10y - 20 = 0
3./Írja fel a pontokon áthaladó kör egyenletét:
Hivatkozások: A középiskolai matematika áttekintése