Mi az igazság? Hogyan lehet megkülönböztetni az igaz állítást a hamis állítástól? Most felejtsük el egy pillanatra ennek a kérdésnek a mindennapi vonatkozásait, és koncentráljunk a matematikai igazságra. Az ókori Görögország kora óta a matematikusok és a logikusok megpróbálták kideríteni, hogy mely állítások igazak - és ezért tételnek (tételnek) tekinthetők, és melyek nem. Valóságos előrelépés azonban csak az elmúlt két évszázadban történt, különösen az ún formális logika.
A formális logika alapja egy formális rendszer. Képzelje el, hogy van egy bizonyos szimbólumkészletünk, amellyel írhatunk egy adott állítást. Például. a + szimbólum az összeadási műveletet jelenti, E (vagy az egzisztenciális kvantor) azt jelenti, hogy "létezik, amelyre bír", A (vagy az univerzális kvantor) mindenki számára ". Csak akkor használhatunk logikai szimbólumokat, mint például az & -A, v-vagy,
tagadás, és tetszőleges számú változó, amely x, y, z, ill. x 'y' z ', x' 'y' 'z' 'stb. Ezekből a szimbólumokból axiómákat állítottunk össze - a formális rendszer alapköveit. Az axiómák MEGFIGYELT igazságok, amelyeket már nem kell bizonyítani, mint pl Aa: (a + 0) = a - minden a esetében e és plusz nulla egyenlő a-val, vagy Aa: (a.0) = 0. A formális rendszerben nálunk is van ún eljárási szabályok - mik azok a szabályok, amelyek megmondják, hogyan készítsünk egy másik igaz állítást egy igaz állításból - pl. ha a P állítás igaz, akkor tagadásának tagadása is igaz -
P = P vagy ha az r = s és s = t állítások igazak, akkor az r = t állítás is igaz. Ezek a szabályok nyilvánvalóak is, egyszerűen csak annak a világnak a részei, amelyben élünk, vagy legalábbis észleljük. Az axiómák határain túl csak a vitathatatlanságba vetett hit marad, az az igazság, amelyet az emberi elme még tovább mehet, és kételkedhet az igazságukban, legjobb esetben egy teljesen új matematikai elméletet fedez fel (ez az euklideszi geometriával történt a a paralelogrammák axióma), nuz av horsom Ebben az esetben kibővíti a mentális zavarokkal küzdő matematikusok amúgy is széles körét.
Így eljárási szabályok segítségével megszerezhetjük az egyes axiómákból az igaz ill. hamis mondatok, amelyeket aztán az eljárási szabályok szerint folyamatosan új és új mondatokká is kombinálhatunk. A matematikai tétel teljes levezetését néhány alap axiómából bizonyításnak nevezzük. Nemcsak a matematikusok számára lenne igazán kellemes, ha olyan formális rendszert lehetne létrehozni, amelyből bármely matematikai állítás igazságát vagy hamisságát nem csak levezetni lehetne, de még ezen a sémán belül is be lehetne bizonyítani, hogy ez a rendszer minden vita nélkül. David Hilbert angol matematikus egy ilyen rendszer létrehozását szorgalmazta, megpróbálták például. Russell Whitehead-szel a Principia Mathematica híres művében. Erőfeszítéseik azonban hiábavalóak voltak, mert 1931-ben a 25 éves osztrák Kurt Godel egy rövid szövegben "A formális rendszerek formálisan megdönthetetlen tulajdonságairól" címmel porig zúzta Hilbert programját, és megmutatta, hogy a teljes igazság mindig túl lesz emberi megértés.
Godel tételének egy része bonyolult, és az egész könyvre lenne szükség annak magyarázatához. Lényegében Godel megmutatta, hogy az összes matematikai tétel rendezhető és így számozható, következésképpen a bizonyítás folyamata nem más, mint egy számtani művelet. Képzeljük el, hogy az összes matematikai tételt egy w változóval rendeztük és számoztuk, majd ezeknek a P tételeknek mindegyikéhez hozzárendelünk egy n számot (annak sorrendjét). Valójában van egy Pn (w) állításunk, amely szintaktikailag helyesen felépítve elmondja nirco-nak az n és w számok kapcsolatáról. Ezenkívül az összes bizonyíték - az adott mondat létrehozásához vezető mondatok és szabályok megszámozhatók, és mindegyikhez rendelhetünk n számot, így Tn rendezési sémánk szerint egy adott n-edik bizonyítást jelöl (ez a fajta rendezés és a számozás volt a leggyakoribb része a Modell mondatának, és a magyarázatom nagyon, de nagyon pontatlan, de elég ahhoz, hogy megértsem az alapgondolatot).
Így összeállíthatunk egy mondatot:
Ex [Tx bebizonyítja Pw (w)] - "Nincs x is, hogy Tx igazolja Pw (w) -t." Ez a mondat valóban helyesen megfogalmazott mondat, mivel, amint azt már írtam, a Godel-számozásnak köszönhetően a bizonyítás művelete olyan aritmetikai művelet, amely bármely formális rendszerben kifejezhető, amely lehetővé teszi az aritmetikai műveleteket (pl. Standard számelmélet, és minden bonyolultabb formális rendszerek). Tehát ez a tétel azt mondja nekünk, hogy a Pw (w) tétel nem bizonyítható. Mivel valójában eltávolítottuk x-et az egzisztenciális kvantorral "nem létezik", ezért van egy állításunk egy w változóról. Mivel az összes matematikai tételt szétválogattuk és megszámoztuk egy változóval kapcsolatban, ehhez hozzárendelhetjük a k számot is: „Nincs olyan x, hogy Tx bebizonyítsa Pw (w)”, tehát valójában Pk (w) =
Ex [Tx bizonyítja Pw (w)] .
És most jön Godel meghökkentő gondolatának második része. Vizsgáljuk meg ezt a tételes függvényt a w = k változó meghatározott értékére. Kapunk egy mondatot
Ex [Tx bizonyítja, hogy Pk (k)] = Pk (k). A Pk (k) állítás így szól: "Nincs olyan x, hogy Tx igazolja a Pk (k) állítást". Van-e bizonyítéka ennek a mondatnak a formális rendszerünkön belül? Van-e bizonyítéka a tagadásának? A válasz mindkét kérdésre "nem". Ha a megadott bizonyíték létezne, a mondat igaz lenne, és azt mondaná nekünk, hogy nincs bizonyíték, ami azonban azt jelentené, hogy rosszul tettünk ki minket egy formális rendszernek, mert ez hamis állítások bizonyítását teszi lehetővé. Tehát az egyetlen alternatíva az, hogy valóban nincs bizonyíték Pk (k) -ra. És ez a mondat pontosan ezt mondja el nekünk, és ezért igaz, ezért igaz állítást találtunk a formális rendszerünkön kívül! És micsoda tagadás
Pk (k)? Mivel Pk (k) igaz állítás, annak tagadása, a Pk (k) "Van x olyan, hogy Tx bebizonyítja Pk (k)" állítás hamis! Formális rendszerünkben azonban nem tudjuk igazolni a hamis állításokat, ezért a Pk (k) és annak tagadása kívül esik bennünk a formális rendszeren !
Tétel Pk (k) ill. negációját, mint újabb axiómát, helyettesíthetjük egy kiterjesztett formális rendszerrel, de ez nem oldja meg a problémát, mert még ebben a formális rendszerben is (teljesen más tulajdonságokkal elérhetjük az úgynevezett természetfeletti halmazot, amely már erős kávé a ez a cikk) hasonló kapcsolattal jutunk el hasonló Pl (l) állításhoz, és ugyanez történik velünk abban a formális rendszerben, amelybe axiómaként helyettesítettük a Pk (k) tagadást. Mire jött valójában Godel? Minden formális rendszerhez eljutott, amelyben az alapvető számtani műveletek leírhatók, pl. nagyon egyszerű számelmélet, hiányos, sok igaz állítás van, amelyek egyszerűen bizonyíthatatlanok !
Godel tételei az egyik legfigyelemreméltóbb matematikai (vagy logikai) mondat. Magyarázza el, mi kellett Hofstadter Godel, Escher, Bach fantasztikus könyvéhez egy rövid cikkben, hogy mindenki valószínűleg megértse, de megér egy próbát. Élvezze ezt a metamatikus utat az ismeretlen szférába. Heisenberg bizonytalansági elve, Einstein relativitáselmélete és Godel tételei a formális rendszerek nem levezetett tulajdonságairól a 3 tudományos "felfedezés", amelyek leginkább befolyásolták a 20. századi gondolkodást és tudományt, lenyűgöző Godel, Escher, Bach, szakértő könyvében írták. a mesterséges intelligenciáról és a kognitívról lásd Douglas Hofstadter. Míg azonban az olyan kifejezések, mint a "minden relatív" és "a megfigyelés ténye megváltoztatja a megfigyelés eredményét", de facto a frazeológiai szóhasználat részévé vált, Godel-tétel a tudományos közösségen kívül szinte ismeretlen. Első ránézésre ez valóban nagyon nehezen megfogható fogalom, de mögötte egy csodálatosan egyszerű ötlet áll, amelyet megpróbálok tisztázni ebben a szövegben.
Mi az igazság? Hogyan lehet megkülönböztetni az igaz állítást a hamis állítástól? Most felejtsük el egy pillanatra ennek a kérdésnek a mindennapi vonatkozásait, és koncentráljunk a matematikai igazságra. Az ókori Görögország kora óta a matematikusok és a logikusok megpróbálták kideríteni, hogy mely állítások igazak - és ezért tételnek (tételnek) tekinthetők, és melyek nem. Valóságos előrelépés azonban csak az elmúlt két évszázadban történt, különösen az ún formális logika.
A formális logika alapja egy formális rendszer. Képzelje el, hogy van egy bizonyos szimbólumkészletünk, amellyel írhatunk egy adott állítást. Például. a + szimbólum az összeadási műveletet jelenti, az E (vagy az egzisztenciális kvantor) azt jelenti, hogy "létezik, amelyre bír", A (vagy az univerzális kvantor) mindenki számára ". Csak akkor használhatunk logikai szimbólumokat, mint például az & -A, v-vagy,
tagadás, és tetszőleges számú változó, amely x, y, z, ill. x 'y' z ', x' 'y' 'z' 'stb.
Ezekből a szimbólumokból axiómákat állítottunk össze - a formális rendszer alapköveit. Az axiómák MEGFIGYELT igazságok, amelyeket már nem kell bizonyítani, mint pl Aa: (a + 0) = a - minden a esetében e és plusz nulla egyenlő a-val, vagy Aa: (a.0) = 0. A formális rendszerben nálunk is van ún eljárási szabályok - mik azok a szabályok, amelyek megmondják, hogyan készítsünk egy másik igaz állítást egy igaz állításból - pl. ha a P állítás igaz, akkor tagadásának tagadása is igaz -
P = P vagy ha az r = s és s = t állítások igazak, akkor az r = t állítás is igaz. Ezek a szabályok nyilvánvalóak is, egyszerűen csak annak a világnak a részei, amelyben élünk, vagy legalábbis észleljük. Az axiómák határain túl csak a vitathatatlanságba vetett hit marad, az az igazság, amelyet az emberi elme még tovább mehet, és kételkedhet az igazságukban, legjobb esetben egy teljesen új matematikai elméletet fedez fel (ez az euklideszi geometriával történt a a paralelogrammák axióma), nuz av horsom Ebben az esetben kibővíti a mentális zavarokkal küzdő matematikusok amúgy is széles körét.
Így eljárási szabályok segítségével megszerezhetjük az egyes axiómákból az igaz ill. hamis mondatok, amelyeket aztán az eljárási szabályok szerint folyamatosan új és új mondatokká is kombinálhatunk. A matematikai tétel teljes levezetését néhány alap axiómából bizonyításnak nevezzük. Nemcsak a matematikusok számára lenne igazán kellemes, ha olyan formális rendszert lehetne létrehozni, amelyből bármely matematikai állítás igazságát vagy hamisságát nem csak levezetni lehetne, de még ezen a sémán belül is be lehetne bizonyítani, hogy ez a rendszer minden vita nélkül. David Hilbert angol matematikus egy ilyen rendszer létrehozását szorgalmazta, megpróbálták például. Russell Whitehead-szel a Principia Mathematica híres művében. Erőfeszítéseik azonban hiábavalóak voltak, mert 1931-ben a 25 éves osztrák Kurt Godel egy rövid szövegben "A formális rendszerek formálisan megdönthetetlen tulajdonságairól" címmel porig zúzta Hilbert programját, és megmutatta, hogy a teljes igazság mindig túl lesz emberi megértés.
Godel tételének egy része bonyolult, és az egész könyvre lenne szükség annak magyarázatához. Lényegében Godel megmutatta, hogy az összes matematikai tétel rendezhető és így számozható, következésképpen a bizonyítás folyamata nem más, mint egy számtani művelet. Képzeljük el, hogy az összes matematikai tételt egy w változóval rendeztük és számoztuk, majd ezeknek a P tételeknek mindegyikéhez hozzárendelünk egy n számot (annak sorrendjét). Valójában van egy Pn (w) állításunk, amely szintaktikailag helyesen felépítve elmondja nirco-nak az n és w számok kapcsolatáról. Ezenkívül az összes bizonyíték - az adott mondat létrehozásához vezető mondatok és szabályok megszámozhatók, és mindegyikhez rendelhetünk n számot, így Tn rendezési sémánk szerint egy adott n-edik bizonyítást jelöl (ez a fajta rendezés és a számozás volt a leggyakoribb része a Modell mondatának, és a magyarázatom nagyon, de nagyon pontatlan, de elég ahhoz, hogy megértsem az alapgondolatot).
Így összeállíthatunk egy mondatot:
Ex [Tx bebizonyítja Pw (w)] - "Nincs x is, hogy Tx igazolja Pw (w) -t." Ez a mondat valóban helyesen megfogalmazott mondat, mivel, amint azt már írtam, a Godel-számozásnak köszönhetően a bizonyítás művelete olyan aritmetikai művelet, amely bármely formális rendszerben kifejezhető, amely lehetővé teszi az aritmetikai műveleteket (pl. Standard számelmélet, és minden bonyolultabb formális rendszerek). Tehát ez a tétel azt mondja nekünk, hogy a Pw (w) tétel nem bizonyítható. Mivel valójában eltávolítottuk x-et az egzisztenciális kvantorral "nem létezik", ezért van egy állításunk egy w változóról. Mivel az összes matematikai tételt szétválogattuk és megszámoztuk egy változóval kapcsolatban, ehhez hozzárendelhetjük a k számot is: „Nincs olyan x, hogy Tx bebizonyítsa Pw (w)”, tehát valójában Pk (w) =
Ex [Tx bizonyítja Pw (w)] .
És most jön Godel meghökkentő gondolatának második része. Vizsgáljuk meg ezt a tételes függvényt a w = k változó meghatározott értékére. Kapunk egy mondatot
Ex [Tx igazolja Pk (k)] = Pk (k) .
A Pk (k) állítás így szól: "Nincs olyan x, hogy Tx igazolja a Pk (k) állítást". Van-e bizonyítéka ennek a mondatnak a formális rendszerünkön belül? Van-e bizonyítéka a tagadásának? A válasz mindkét kérdésre "nem". Ha a megadott bizonyíték létezne, a mondat igaz lenne, és azt mondaná nekünk, hogy nincs bizonyíték, ami azonban azt jelentené, hogy rosszul tettünk ki minket egy formális rendszernek, mert ez hamis állítások bizonyítását teszi lehetővé. Tehát az egyetlen alternatíva az, hogy valóban nincs bizonyíték Pk (k) -ra. És ez a mondat pontosan ezt mondja el nekünk, és ezért igaz, ezért igaz állítást találtunk a formális rendszerünkön kívül! És micsoda tagadás
Pk (k)? Mivel Pk (k) igaz állítás, annak tagadása, a Pk (k) "Van x olyan, hogy Tx bebizonyítja Pk (k)" állítás hamis! Formális rendszerünkben azonban nem tudjuk igazolni a hamis állításokat, ezért a Pk (k) és annak tagadása kívül esik bennünk a formális rendszeren !
Tétel Pk (k) ill. negációját, mint újabb axiómát, helyettesíthetjük egy kiterjesztett formális rendszerrel, de ez nem oldja meg a problémát, mert még ebben a formális rendszerben is (teljesen más tulajdonságokkal elérhetjük az úgynevezett természetfeletti halmazot, amely már erős kávé a ez a cikk) hasonló kapcsolattal jutunk el hasonló Pl (l) állításhoz, és ugyanez történik velünk abban a formális rendszerben, amelybe axiómaként helyettesítettük a Pk (k) tagadást. Mire jött valójában Godel? Minden formális rendszerhez eljutott, amelyben az alapvető számtani műveletek leírhatók, pl. nagyon egyszerű számelmélet, hiányos, sok igaz állítás van, amelyek egyszerűen bizonyíthatatlanok !
Szomorú hírek? Minden bizonnyal egy meggyőződött matematikai formalistának, de egyébként nem biztos, hogy olyan szomorú hír. Az a tény, hogy Godel eljutott ehhez a tételhez, mond valamit az emberi tudat lényegéről. Ha az emberi agy csak egy determinisztikus rendszer lenne, amely bizonyos algoritmusokat és formai szabályokat követ, Godel egyszerűen soha nem juthatott volna el erre a mondatra. Azért jött erre, mert az ember képes nemcsak a formális rendszeren belül őrölni, hanem arra is, hogy magasabbra lépjen, metába menjen (meta meta, meta meta meta ad infinitum), kötődni és vitatkozni bármilyen formális rendszeren kívül. Azt is tudjuk, hogy a matematikai igazság fogalma sokkal szélesebb, mint bármely formalizmus. Mintha a végén Platónnak igaza lett volna, és a matematikai ötletek világa szép és végtelen lenne, amelyet mindig csak egy tompa árnyéknak fogunk látni.