Richard Wagner Tristan und Isolde akkordjának megnyitása (a bemutatott partitúra harmadik oszlopában) 1865-ben mutatta be az opera bemutatóját, és a hangközök merész kombinációja - disszonáns a negyedikre bővült; dinamikus, tökéletlenül azonos jelentős harmadik; erősen mássalhangzó tökéletes negyedik - a harmóniához való hozzáállás kulcsfontosságú változásaként fogták fel, a későbbi klasszikus zene atonalitásának előzményeként.
Arra a kérdésre, hogy a szimultán hangok hogyan esztétikus (vagy elégedetlen) harmóniákat hoznak létre, és hogyan fejlődnek az egyes harmóniák a legjobban a következőkké - kontrapontként vagy hangvezérként ismert technikává -, évszázadok óta gyakorolják a zeneelmélők.
Dmitri Tymoczko (Tudomány 313, 72 - 74; 2006) az utolsó kísérlet az ilyen kapcsolatok matematikai rendszerezésére, a zenei akkordok egyetemes "geometriájának" létrehozása érdekében.
A zenei oktáv dupla (vagy fél) frekvenciával választja el az egyik hangot egy másik hasonló hangtól. A nyugati hagyomány szerint minden oktáv 12 jellegzetes hangra oszlik. Tymoczko ezért egy egyszerű logaritmikus kifejezéssel konvertálja az egyes hangok alapvető frekvenciáját valós számokká a "hangmagasság tér" mezőben, kezdve C-vel (ami 0) és Csharp (1), és haladva az A (9), Bflat ( t) és B (e) felirattal. B után jön a C, amely a következő oktáv kezdeteként ismét 0.
A két akkord közötti hangtér geometriai távolságát ezután ki lehet értékelni a "hangméret" használatával, amely relatív mértéke annak, hogy az egyik akkordban hány hangot kell megváltoztatni a másik elkészítéséhez. Az eredmények felhasználásával létrehozhatunk egy geometriai teret, úgynevezett pályát, amelyben az akkordok közötti eloszlás arányos a hangméretükkel.
Az oktáv ciklikus jellege miatt az orbifold visszaolvad önmagába: például a kétszínű akkordokhoz hasonlít egy Möbius-övre - a kerületén fél csavarral -, amelynek határai, hangutasítás céljából, tükörként viselkedni. Az egyenértékű kép magasabb dimenziókban érvényes (több hangú akkordoknak felel meg), így egységes keretet hoz létre az akkordok összes lehetséges kombinációjának megítélésére.
Tehát mit tanít nekünk? Úgy tűnik, hogy számos olyan akkord, amelyet a zeneszerzők kedvelnek a kellemes ellenpontok kialakításakor, a gömb geometriájának szimmetriáját használják. Az oktávot szinte egyenletesen elosztó akkordok azt mondják, hogy közel vannak az átültetési szimmetriához, és ismert mássalhangzó akkordokat tartalmaznak. Ezek az akkordok a gömb közepére vannak csoportosítva. Majdnem permutációsan szimmetrikus akkordok, amelyek egymáshoz közeli, így illetlen hangokat tartalmaznak, a határok felé gyűlnek.
Az akkord harmadik osztálya, amelyet szinte fordítottan szimmetrikusnak neveznek, szétszórtan helyezkedik el a pályán. Az ilyen akkordok mind a tonális, mind az atonális zenében jelentősek - főleg a XIX. Századi úttörők, például Richard Wagner műveiben.
Hozzászólások
Megjegyzés beküldésével vállalja, hogy betartja Általános Szerződési Feltételeinket és közösségi irányelveinket. Ha ezt sértő cselekedetnek találja, amely nem felel meg feltételeinknek vagy irányelveinknek, kérjük, jelölje meg nem megfelelőnek.