Példa: Legyen Y az előző példában szereplő lányok száma. Fontos megjegyezni, hogy Y eloszlása megegyezik X eloszlásával, de XY. Ebben az esetben determinisztikus kapcsolat áll fenn X és Y között. .
Tehát, ha van egy alapjel, amelyet elemi jelenségek halmaza ad, a véletlen változó olyan funkcióként értelmezhető, amely numerikus értéket rendel az egyes elemi jelenségekhez. Például. Az NV X a 0 értéket hozzárendeli egy elemi jelenséghez, az 1 értéket egy elemi jelenséghez stb. Az NV X egy adott értékének megfigyelésének valószínűségét ezután az elemi jelenségek valószínűségének összege adja meg, amelyeken megszerzi ezt az értéket. Például. .
Diszkrét NV esetén gyakran rövidítésre használják. hangsúlyozni, hogy X csak bizonyos specifikus értékeket vehet fel (általános helyett).
Megadható a valószínűségeloszlás
- táblázat (x/p (x) típus)
- grafikon:
- képlet szerint:
A példában először válassza ki a gyermekek számát a családban (). Mi csak erre szorítkozunk. Megfigyelünk egy diszkrét véletlenszerű változót, amely az első példához hasonlóan a család adott számú gyermekének fiúinak számát fogja képviselni. Feltételezzük, hogy a fiú születésének valószínűsége igen. Nyilván értékeket tud felvenni. Az applet kiszámítja az egyes értékek előfordulásának valószínűségét. A valószínűségének kiszámítása a képlet szerint történik. A mennyiség valószínűségi eloszlását grafikusan és egy táblázat is mutatja.
5.2 A diszkrét NV-k jellemzői
A 2. fejezet elején véletlenszerű mintáink voltak (gyermekszám, magasság), megtudtuk a relatív számok eloszlását, és ezek alapján meghatároztuk az átlagos értéket és (minta) szórást. Ha a szelekció tartománya közel lenne a végtelenhez, akkor a relatív számok megközelítenék a megfelelő valószínűségeket. Ezért van értelme meghatározni a népesség átlagértékét és szórását ill. valószínűségi eloszlások.
| 5.2.1. Meghatározás: A (népesség) átlag NV értéke . Az NV X (populációs) szórása: . Az NV X mód az az érték, amelynek . Az NV X mediánja az az érték, amelyre . Az NV X átlagos eltérése vagy . A szórás az . |
Jegyzet: Az átlagértéket gyakran vagy -nak jelöljük. A szórást gyakran a vagy -al is jelöljük. A mediánnak nem kell egyértelműen meghatároznia az adott körülményeket.
| 5.2.2. Tétel: Vonatkozik: |
Jegyzet: A mennyiséget jelöljük, és az X véletlen változó vagy az X eloszlás második (nem központi) pillanatának nevezzük. A mennyiséget 2. központi momentumnak is nevezzük. Az 5.2.2 tétel tartalmazza az ún számított forma - a variancia kiszámítása e képlet alapján könnyebb, mint definíció szerint.
Példa: Számítsa ki a véletlenszerű, 3 gyermekes családban a fiúk számának eloszlásának átlagát és szórását.
| 0 | 1/8 | 0 | -3/2 | 9/4 | 9/32 | 0 |
| 1 | 3/8 | 3/8 | -1/2 | 1/4 | 3/32 | 3/8 |
| 2 | 3/8 | 6/8 | 1/2 | 1/4 | 3/32 | 12/8 |
| 3 | 1/8 | 3/8 | 3/2 | 9/4 | 9/32 | 9/8 |
Ha P (fiú) = 1/2, akkor az 1,5-ös átlagérték szintén intuitívan várható.
A példában először válassza ki a gyermekek számát () a családban. A példához hasonlóan a fiúk számának eloszlásának magasabb átlaga és szórása is érdekel minket. Az applet kiszámítja az egyes értékeket, a megfelelő értékeket), valamint a fenti példában megadott összes többi oszlop értékét. Ezután kiszámítják a mód, a medián, az átlagos eltérés és a szórás értékét. Az applet törtekkel dolgozik, hogy az átlag és a variancia kiszámítása egyértelműbb legyen. A második nem központi pillanat értékét is kiszámítják.
Ha lineárisan alakítjuk át az NV X-et, akkor a 2.3.3 tétel egyenértéke érvényes:
| 5.2.3. Nyilatkozat: Legyen az NV átlag és szórás. Ekkor az NV átlagára és szórására a következők vonatkoznak: . |
5.3 Binomiális eloszlás
A binomiális véletlen változóra példa .
Általánosságban: legyenek független "kísérleteink" (Bernoulli kísérletei), amelyek mindegyike "sikerrel" vagy "kudarccal" végződik valószínűséggel ill., hol . Ezután binomiális véletlen változónak hívják. Azt a tényt, hogy egy véletlen változó binomiális eloszlású, jelölni fogjuk .
Például, ha minden 5-ös sorozat 2 sikerrel és 3 kudarccal jár, akkor ugyanaz a valószínűség. Az 5 próbálkozás közül 2 sikert lehet választani. Ezért igaz. Úgy tűnik, hogy általában egy hasonló képlet érvényes
Példa: Az USA lakosságának 60% -a legyen demokrata és a többi republikánus. 5 szavazót véletlenszerűen választottak ki. Mennyi a valószínűsége annak
- közülük hárman demokraták?
- a legtöbb demokrata?
b) .
Válassza ki a népesség százalékos arányát, akik demokraták. Tehát megkapjuk a demokrata létezésének valószínűségét (). Ezután válassza ki a választók számát (). Az applet kiszámítja az értékeket, amelyeket táblázatban és grafikusan megjelenít. Ezért egy véletlenszerű változót vizsgálunk, amely a demokraták számát képviseli a beírt választópolgárok számában. Az applet alatt megadott képlet szerint kiszámítja az átlagot és a szórást is.
| 5.3.1. Tétel: Ha NV, akkor annak átlagára és szórására: . |
Bizonyíték: Mivel a for miatt van, mert az utolsó összeg egy eloszlású véletlen változó összes valószínűségének összege. Analógia alapján a QED a varianciára vonatkozik.
5.4 Geometriai eloszlás
Itt is feltételezzük, hogy Bernoulli-kísérleteket hajtunk végre (azaz függetlenek, a siker valószínűségével). Legyen egy véletlen változó geometriai eloszlású (vagyis ebben az esetben a binomiális eloszlással ellentétben a véletlen változó az elvégzett kísérletek száma). Mivel az első siker előtt minden próbálkozásnak kudarcnak kell lennie, a sikerek és kudarcok sorrendje egyértelműen meghatározott. Ezért:
| 5.4.1. Javaslat: Ha NV, akkor annak átlagára és szórására: . |
Példa: Véletlenszerűen választjuk ki az USA-t választók. Kíváncsi vagyunk, mikor találkozunk a demokraták első szavazójával. Hagyja újra alkalmazni. Azután
- ;
- ;
- .
Ismét válassza ki a lakosság () százalékát, akik demokraták. Véletlenszerű változót tanulmányozunk, amely a kísérletek számát reprezentálja, mielőtt találkoznánk az első demokratával. Egy valószínűségértékek egy demokrata előfordulásához, a 2. számú kísérlethez. Az 1–9. Ábra grafikusan látható. A fenti összefüggések alapján kiszámítjuk az átlagot és a varianciát is.
5.5 Negatív binomiális eloszlás
Ennek a felosztásnak az alapja ismét a Bernoulli-kísérletek (vagyis függetlenek, a siker valószínűségével). Legyen a Véletlen változó negatív binomiális eloszlású. Itt is az elvégzett kísérletek számát egy véletlen változó csökkenti, a szükséges számmal csökkentve r sok szerencsét. Mivel a sikernek utolsónak kell lennie, a sikerek és kudarcok sorrendjét a korábbi sikerek pozíciói határozzák meg. Ezért:
| 5.5.1. Javaslat: Ha NV, akkor annak átlagára és szórására: . |
Ez az eredmény összhangban áll azzal az intuitív elvárással, amelyre a várakozás átlagos értéke számít r-a siker az r-az átlagos (többszörös) várakozás egy (első) sikerre.
Példa: Véletlenszerűen választjuk ki az USA-t választók. Kíváncsi vagyunk, mikor találkozunk a demokraták negyedik szavazójával. Hagyja újra alkalmazni. Azután
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
5.6 Poisson-eloszlás
A Poisson-eloszlás a véletlenszerű események számának eloszlása egy meghatározott időintervallumon vagy helyen belül, ha az események rögzített átlagos gyakorisággal és (az idő, hely) korábbi eseményektől függetlenül következnek be. Az esemény átlagos előfordulási száma meg van adva. Ez az érték az eloszlás egyetlen paramétere. Vonatkozik:
Ez az eloszlás a binomiális eloszlás korlátozó esete, a siker valószínűségével, a próbálkozások számától függően. Ha ez igaz egy ilyen felosztásban, akkor .
| 5.6.1. Javaslat: Ha NV, akkor annak átlagára és szórására: . |
Példa: A szupermarket megígérte, hogy pénzügyi ellentételezést fizet azoknak az ügyfeleknek, akik több mint 10 percet várnak a pénztárnál. Azoknak a pénztárgépeknek az átlagos száma, amelyeknek működniük kell, hogy az ügyfeleknek ne kelljen semmit fizetniük, 5. Mennyi a valószínűsége, hogy még 10 pénztárgép sem lesz elegendő az összes ügyfél kiszolgálására 10 percen belül?
Ha elfogadjuk azt a feltételezést, hogy az ügyfelek érkezése időben független és homogén, akkor a 10 perces intervallumban lévő ügyfelek száma és ezáltal a szükséges pénztárgépek száma Poisson-eloszlású. A szükséges pénztárgépek számát elosztjuk Po-val (5). Azért
- ;
- ;
- ;
- .
- ;
5.7 Hipergeometrikus eloszlás
A hipergeometrikus eloszlás hasonló a véges populációk binomiális eloszlásához. Legyen annak a népességnek a mérete, amelytől az egyénnek van valamilyen végpontja (). Véletlenszerűen választunk ki egyéneket a populációból (hányás nélkül). Azon egyedek száma, akik rendelkeznek a megfigyelt tulajdonsággal ebben a szelekcióban, véletlen változó, hipergeometrikus eloszlással. A kiválasztási módszer miatt érvényes
Megjegyzés: A határértékek a kombinációs számok természetes határaiból adódnak: és ugyanakkor .
Ha és, akkor a felosztás konvergál .
| 5.7.1. Javaslat: Ha NV, akkor annak átlagára és szórására: . |
Példa: Az amerikai 30 egyetemi hallgatóból álló csoport között 18 demokrata és 12 republikánus szavazó van. Közülük 5-et véletlenszerűen választottak ki. Mennyi a valószínűsége annak
- közülük hárman demokraták?
- a legtöbb demokrata?
b) .
5.8 Folyamatos disztribúciók
A folytonos eloszlású véletlen eloszlást meglehetősen jól leírja a relatív frekvenciák oszlopdiagramja. Tudjuk. Ezért egyszerűen méretezéssel elérhetjük, hogy a grafikon teljes területe egyenlő legyen 1. Ekkor az egyes intervallumok oszlopterülete megegyezik az adott osztály relatív számával, és így megközelítőleg megegyezik a valószínűséggel hogy a megfigyelt véletlen változó ehhez az intervallumhoz tartozó értéket kap. Ezért meghatározzuk: A grafikonját azonban ez befolyásolja
- véletlenül (csak válogatásom van, nem a teljes fájl);
- az osztályok számának és határainak megválasztásával.
- a megfigyelések számának növelése;
- osztályok finomításával (1 megengedi 2).
Ez az applet számokat generál az elosztásból. Az intervallum annyi kisebb, azonos hosszúságú intervallumra oszlik, amennyit választ. A generált számok ezekre az intervallumokra vannak rendezve, és a számokat minden intervallumra kiszámítják (azaz hány generált szám tartozik az egyes intervallumokhoz). Tehát növelheti/csökkentheti a létrehozandó számok számát, és emelheti/csökkentheti az említett osztályok számát (osztály finomítása).
Különösen a folyamatos véletlenszerű változók esetében, azaz stb.
Ezek a 2.2. Szakasz képleteinek korlátozó esetei. Sem a módot, sem a medián értékeket nem kell egyértelműen meghatározni.
| 5.8.3. Meghatározás: Az NV elosztási függvényt függvénynek nevezzük . |
| 5.8.4. Javaslat: Ha az NV folytonos a sűrűséggel, akkor megtartja elosztási funkcióját |
Így az eloszlásfüggvény egyértelműen meghatározza a valószínűségeloszlást.
5.9 Normál eloszlás
Sok véletlen változó, pl. a kémiai, fizikai vagy gazdasági mennyiségek mérésében felmerülő hibák normális eloszlásúak. Matematikailag ennek az eloszlásnak vannak a legszebb tulajdonságai, feltételezve a normalitást, sok probléma kifejezetten megoldható. Sok más részleg, pl. binomiális, normálértékkel jól megközelíthető.
a) standardizált normál eloszlás
Egy véletlen változó normalizált normális eloszlással rendelkezik, ha annak valószínűségi sűrűsége megegyezik
| 5.9.1. Tétel: Legyen a véletlen változó normalizált normális eloszlású. Akkor érvényes |
Bizonyíték: Látszólag
Partikra való felhasználás
míg a szögletes zárójelben szereplő funkció páratlan, az integrál alatt pedig a sűrűség. QED.
| Ezt az eloszlást gyakran sűrűségének és eloszlásfüggvényének nevezik. Az értékek táblázatokban vannak (a különféle programok kiszámíthatják számszerű közelítésüket is). |
- Applet ábrázolja az eloszlási sűrűség grafikonját. Áthelyezheti azt a töréspontot, amellyel a grafikon alatti terület tartalmát ki kell számítani, azaz. az eloszlásfüggvény értéke. Az eloszlásfüggvény grafikonját ábrázoljuk és összekapcsoljuk a sűrűséggráffal. Az eloszlásfüggvény grafikonja azt a pontot mutatja, amelynek y-A koordináta meghatározza a grafikon tartalmát az intervallum sűrűsége alatt. A pontos érték a szövegmezőbe kerül.
Jegyzet: Ha az X véletlen változónak van középértéke és szórása, akkor a véletlen változónak 0 átlaga és szórása 1. Ezt az átalakulást a véletlen változó normalizálásának vagy standardizálásának nevezzük.
Példa: megtalálja .
A táblázatokban megtaláljuk. Ebből
- ;
- ;
- .
b) általános normális eloszlás
Normalizált normális eloszlásból származik azáltal, hogy áttér valamilyen átlagra és skálázási időkre úgy, hogy szórása legyen. Sűrűsége van. Ezt a felosztást hívjuk. A sűrűség szimmetrikus az átlagérték körül. Ha akkor .
5.10 Véletlenszerű változó funkció
Tekintsünk ismét egy véletlenszerű, 3 gyermekes családot, és tegyük fel, hogy a családi sporteszközök költsége csak a fiúk számától függ: hol van a fiúk száma. Például: (euróban).
A családban a sporteszközök költségének átlagos értéke: De nem kellett kiszámítanunk az eloszlást, közvetlenül egy véletlen változó eloszlásából származhatunk:
| 0 | 150 | 1/8 | 150/8 |
| 1 | 240 | 3/8 | 720/8 |
| 2 | 270 | 3/8 | 810/8 |
| 3 | 240 | 1/8 | 240/8 | 1920/8 |
| 5.10.1. Javaslat: Legyen az NV részleg, és legyen valami olyan függvény, amelynek tartománya minden lehetséges értéket tartalmaz. Majd amikor diszkrét ill. folyamatos NV. |
Jegyzet: Ebből az állításból következik, hogy az átlag szimbólum lineáris operátor. Néha zárójeleket használunk utána, hogy pontosan meghatározzuk, miből hozunk létre átlagértéket. Például. Megállapíthatnánk a variancia definícióját is formában, ill. . Linearitása felhasználható a számításokhoz; Például: Ezt az egyenértékű varianciaformát számítási formának hívják, mivel általában lényegesen egyszerűbb kiszámítani, mint definíció szerint.